1. Дискретно - стохастические модели. Математический аппарат систем массового обслуживания.
Дискретно-стохастические модели можно рассмотреть на примере использования типовых математических схем систем массового обслуживания (СМО). В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования информационных, производственных, технических, экономических и многих других систем. Например, заявки на обработку информации сервером с удаленных рабочих мест, потоки поставок продукции некоторому предприятию, и др. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, то есть стохастический характер процесса их функционирования.
Система, в которой поток требований встречает ограниченные средства их обслуживания, можно рассматривать как систему массового обслуживания (СМО).
Задачи СМО появляются в тех случаях, когда поток входных воздействий, также время их обслуживания случайные величины.
Источник
требований формирует входной поток, задерживая на какой-то отрезок времени поступление требований в его состав. Входной поток - временная последовательность поступлений, для которой появление требований подчиняется детерминированным или вероятностным законам. Очередь - в соответствии с заданным знанием осуществляет выборку во времени требований во входном потоке для выдачи их на вход прибора обслуживания. Правило формирования очереди - это порядок постановки требований в очередь. Дисциплина обслуживания - это порядок взаимодействия обслуживающих приборов с очередью. Прибор обслуживания осуществляет задержку каждого требования в соответствии с заданным детерминированным или вероятностным законом.Выходной поток - это поток обслуживаемых и необслуживаемых требований, который покидает систему.
Описать СМО значит задать характеристики:
- входной поток требований.
- правило постановки в очередь.
- дисциплину обслуживания.
- выходной поток требований.
Математический аппарат
Основная задача анализа при использовании модели СМО - отыскать функциональные зависимости выбранных показателей эффективности от характеристик входного потока, правил формирования очереди, дисциплины обслуживания и т.д.
Исследовать СМО можно двумя методами:
1) аналитическим
2) имитационным
Аналитически СМО исследуются с помощью специальных формул. Аналитически исследуются только СМО, где протекают Марковские процессы.
Процесс называют Марковским, если источник содержит только однородные требования, поток требований является простейшим, закон обслуживания - показательный, дисциплина обслуживания- FIFO, потоки требований и обслуживания независимы.
Показатели эффективности СМО:
1) Среднее число требований, которое может обслуживать систему за ед. времени ( абсолютная пропускная способность).
2) Средняя доля поступивших требований, обслуживаемая системой в ед. времени - это относительная пропускная способность.
3) Среднее время требования к системе.
4) Среднее и максимальное количество требований в очереди.
Рассмотрим математическую модель СМО вида M/M/1.
Принятое обозначение обусловлено принятой символикой Кенделла:
G1/G2/m, где G1-функция распределения времени поступлений требований, G2-функция распределения времени обслуживания, m-число каналов или приборов обслуживания. «M»-показательное распределение, число приборов -1.
M/M/1
U=
Pо=(1-U);
M(q)=U/(1-U);
где Pо - вероятность, что система обслуживания свободна, M(q) - среднее число требований в системе, M(v) - среднее число требований в очереди, M(j) - среднее число требований в приборе обслуживания,
- среднее число свободных приборов, 
-среднее время пребывания требований в системе, U - коэффициент загрузки приборов, 
- математическое ожидание, т.е. среднее число требований, поступающих в систему за единицу времени (плотность потока требований),
- среднее число требований, обслуженных прибором за единицу времени (интенсивность обслуживания).
Для получения статистической значимости результатов моделирования необходимо проводить множество реализаций, меняя последовательности псевдослучайных чисел, а затем по выборке определять требуемые параметры. Точность результатов будет увеличиваться при увеличении количества реализаций.
