Математическое описание может быть аналитическим (с помощью уравнений), графическим (с помощью графиков, структурных схем), и табличным (с помощью таблиц).

Для получения математического описания системы обычно составляют описание ее отдельных элементов. В частности для получения уравнения системы составляют уравнения для каждого входящего в него элемента. Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнения системы.

Уравнения (а также структурные схемы) автоматической системы управления называют ее математической моделью. Итак, для получения математической модели САР (САУ) в ТАУ, в основном, используется поэлементный метод.

При разработке математической модели САР или ее элементов учитывают два режима работы системы: 1) Установившийся (статический) режим работы САР, при котором характеристики системы не зависят от времени t; 2) Переходный (динамический) режим работы САР (Это режим, при котором характеристики системы или ее элементов являются функциями времени.

Уравнения, описывающие поведение САР или ее элементов в установившемся режиме называются уравнениями статики, а их графики называются статическими характеристиками. Уравнения статики представляют собой системы нормальных алгебраических уравнений.

Уравнения, описывающие поведение системы или ее элементов в переходном режиме называются уравнениями динамики, а их графики динамическими характеристиками. Уравнения динамики обычно представляют собой системы дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений.

Первым шагом в составлении уравнений динамики элемента САР является выявление физического закона, определяющего его поведение. Такими законами являются закон сохранения вещества, закон сохранения энергии, 2-ой закон Ньютона и др. Математическое выражение соответствует физическому закону, который определяет процесс, протекающий в данном элементе системы, является исходным дифференциальным уравнением этого элемента.

Вторым шагом является определение факторов, от которых зависят переменные входящие в исходное уравнение, и установление выражений, характеризующих эту зависимость.

Математическая модель элемента (или системы), которая отображает лишь его динамические свойства, а не физическую сущность происходящих в нем процессов, называется динамическим звеном.

В заключении сформулируем ряд понятий, определяющих методологию формализованного представления и математического описания элементов и систем управления:

1. Система рассматривается как цепь взаимодействующих (физически и информационно) элементов, которая обладает способностью передавать физические воздействия и информационные сигналы в одном, строго определенном направлении.

2. Каждый конструктивный элемент системы рассматривается как преобразователь входного воздействия в выходную реакцию.

3. На основе априорных сведений о физической природе каждого элемента и закономерностях его функционирования составляется математическая модель, которая на языке соответствующей научной дисциплины отражает существенные для данной цепи взаимосвязи между входными и выходными непременными элемента.

4. При составлении математического описания отдельных элементов и системы в целом всегда приходится прибегать к некоторой идеализации реальных физических процессов, происходящих в элементах, определенным упрощениям физических закономерностей, отбрасыванию второстепенных факторов. Удачность и допустимость всех этих упрощений зависит от глубины знаний исследователя системы в данной области физики и технологии, его инженерной интуиции и всегда подлежат экспериментальной проверке.