1. Понятие устойчивости САУ. Алгебраические критерии устойчивости.
Устойчивость является одной из важнейших характеристик САУ. Система, не обладающая устойчивостью, неспособна выполнять функции управления. Неустойчивая система может привести объект управления в аварийное состояние.
Устойчивость САУ - свойство системы возвращаться в исходное состояние после прекращения действия воздействия, выведшего систему их этого состояния. В общем случае, рассматривая нелинейные системы, вводят следующие понятия устойчивости:
- «в малом», если констатируют лишь факт наличия области устойчивости, но не определяют каким-либо образом её границы;
- «в большом», когда определены границы устойчивости, т.е. определены границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в исходное состояние и выяснено, что реальные начальные отклонения принадлежат этой области;
- «в целом», когда система возвращается в исходное состояние при любых отклонениях. Устойчивость «в целом» для определенного класса нелинейностей называют абсолютной устойчивостью.
Условие устойчивости линейной системы. Для устойчивости линейной системы, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми. Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость есть внутренне свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.
Правила, позволяющие оценивать устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения, называются критериями устойчивости. С помощью критерия устойчивости можно не только установить: устойчива или не устойчива система, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.
Простейшим критерием устойчивости является условие положительности коэффициентов характеристического уравнения.
Алгебраические критерии устойчивости устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения.
Алгебраические критерии устойчивости:
Критерий Рауса
Критерий Рауса предложен в 1877 году английским математиком Э.Дж. Раусом и его целесообразно использовать при анализе устойчивости систем высокого порядка (n>4). Критерий устойчивости Рауса используется, если известны (или могут быть определены) коэффициенты характеристического уравнения. Критерий устойчивости Рауса удобен для использования ЭВМ и для выяснения влияния коэффициентов характеристического уравнения на устойчивость системы.
Применение критерия устойчивости Рауса требует составления специальных таблиц, которые строятся следующим образом.
- в первую строку записывают коэффициенты характеристического уравнения с четными индексами, начиная с а0;
- во вторую строку записывают коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами, начиная с а1;
- элементы столбцов, начиная с третьей строки определяют по формуле:
где
где
.
Система устойчива по критерию устойчивости Рауса, если положительны все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса, включая а0 и а1. Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса. Если один из элементов первого столбца равен нулю, а остальные положительны, то система находится на границе устойчивости, а характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. При равенстве нулю последнего элемента или последних
γ элементов первого столбца, САУ находится на границе устойчивости, а характеристическое уравнение имеет один или γ нулевых корней.Критерий Гурвица
Критерий Гурвица сформулирован и доказан в 1895 году немецким математиком А. Гурвицем. Критерий устойчивости Гурвица позволяет получать аналитические выражения для исследования влияния какого-либо параметра (параметров) на устойчивость системы.
Система устойчива по критерию устойчивости Гурвица, если в процессе составления матрицы при положительности коэффициентов характеристического уравнения
все n определителей Гурвица 
, составленные по определенной схеме положительны. Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицательный, то система неустойчива.
Матрица по которой вычисляются определители Гурвица составляется следующим образом:
- на главной диагонали записываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до аn;
- в каждом столбце выше диагональных элементов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже - с последовательно убывающими индексами;
- на место коэффициентов с индексами больше n или меньше нуля проставляют нули.
