Математическое описание может быть аналитическим (с помощью уравнений), графическим (с помощью графиков, структурных схем), и табличным (с помощью таблиц).

Для получения математического описания системы обычно составляют описание ее отдельных элементов. В частности для получения уравнения системы составляют уравнения для каждого входящего в него элемента. Совокупность всех уравнений элементов и дает уравнения системы.

Уравнения (а также структурные схемы) автоматической системы управления называют ее математической моделью. Итак, для получения математической модели САР (САУ) в ТАУ, в основном, используется поэлементный метод.

При разработке математической модели САР или ее элементов учитывают два режима работы системы:

- Установившийся (статический) режим работы САР, при котором характеристики системы не зависят от времени t.

- Переходный (динамический) режим работы САР (Это режим, при котором характеристики системы или ее элементов являются функциями времени.

Уравнения, описывающие поведение САР или ее элементов в установившемся режиме называются уравнениями статики, а их графики называются статическими характеристиками. Уравнения статики представляют собой системы нормальных алгебраических уравнений.

Уравнения, описывающие поведение системы или ее элементов в переходном режиме называются уравнениями динамики, а их графики динамическими характеристиками. Уравнения динамики обычно представляют собой системы дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений.

Первым шагом в составлении уравнений динамики элемента САР является выявление физического закона, определяющего его поведение. Такими законами являются закон сохранения вещества, закон сохранения энергии, 2-ой закон Ньютона и др. Математическое выражение соответствует физическому закону, который определяет процесс, протекающий в данном элементе системы, является исходным дифференциальным уравнением этого элемента.

Вторым шагом является определение факторов, от которых зависят переменные входящие в исходное уравнение, и установление выражений, характеризующих эту зависимость.

Математическая модель элемента (или системы), которая отображает лишь его динамические свойства, а не физическую сущность происходящих в нем процессов, называется динамическим звеном.

В заключении сформулируем ряд понятий, определяющих методологию формализованного представления и математического описания элементов и систем управления:

1. Система рассматривается как цепь взаимодействующих (физически и информационно) элементов, которая обладает способностью передавать физические воздействия и информационные сигналы в одном, строго определенном направлении.

2. Каждый конструктивный элемент системы рассматривается как преобразователь входного воздействия в выходную реакцию.

3. На основе априорных сведений о физической природе каждого элемента и закономерностях его функционирования составляется математическая модель, которая на языке соответствующей научной дисциплины отражает существенные для данной цепи взаимосвязи между входными и выходными непременными элемента.

4. При составлении математического описания отдельных элементов и системы в целом всегда приходится прибегать к некоторой идеализации реальных физических процессов, происходящих в элементах, определенным упрощениям физических закономерностей, отбрасыванию второстепенных факторов. Удачность и допустимость всех этих упрощений зависит от глубины знаний исследователя системы в данной области физики и технологии, его инженерной интуиции и всегда подлежат экспериментальной проверке.

Предположим, что мы имеем дискретный канал вероятность возникновения ошибки, в котором близка к нулю (в идеале = 0). Такой канал называют идеальным каналом или каналом без шума. При наличии идеального канала естественно поставить вопрос о возможности передаче по нему без потерь информации от произвольного дискретного источника U характеризуемого производительностью H'(U) со скоростью равной пропускной способности канала. Схема построения такой системы передачи информации должна выглядеть, так как на рисунке 2.1. Необходимость включения устройства кодер, а так же декодера, выполняющего обратные ему операции. Состав этой системы обусловлен следующими обстоятельствами. Как говорилось в пункте 1.6. для того чтобы скорость передачи информации в канале была равна его пропускной способности, на входе канала должен действовать дискретный источник с определенными статистическими свойствами, максимизирующими величину I(Z,Z*). В частности, в интересующем нас здесь случае идеального канала без помех такой источник должен просто обладать максимальной энтропией или нулевой избыточностью, т.е. выдавать независимые равновероятные сообщения. В то же время своей постановки задачи мы пожелали иметь возможность передавать сообщения от произвольного источника с любыми статистическими свойствами, т.е. имеющего ненулевую избыточность. Таким образом функции кодера являются согласованием в статическом смысле сообщений источника со входом канала. Задача этого согласования в конечном итоге сводится к устранению избыточности сообщений. Кодер осуществляет кодирование сообщений, т.е. каждому дискретному сообщению по определенному правилу ставят в соответствие последовательность символов из алфавита объемом М. При этом по отношению к входу каналом выдаваемые кодером символы сами являются дискретными элементами сообщений, статические свойства которых должны отличаться от статических свойств сообщений исходного источника. Возможность построения кодера полностью устраняющего избыточность произвольного исходного источника сообщений и определяет возможность решения поставленной задачи без ошибочной передачи информации со скоростью, равной пропускной способности канала. При полном ее решении оказывается справедливым равенство

Hв(U) = uC ЧH(U) = uK Чlog M = C (2.1),

откуда имеем h = uK / uC = H(U) / log M (2.1а),

где H(U) - энтропия источника передаваемых сообщений, uK и u C - средние количества символов соответственно сообщения и кода передаваемых в единицу времени.

h = uK/ uC - среднее количество символов кода приходящиеся на одно сообщение.

Степень приближения к точному выполнению равенств (2.1) и (2.1а) зависит от степени уменьшения избыточности источника сообщений.

Кодирование позволяющее устранять избыточность источников сообщений называется эффективным или статистическим. Коды, получаемые в результате такого кодирования, называются эффективными или статистическими. Рассмотрим основные идеи, которые могут быть положены в основу эффективного кодирования. Как отмечалось в пункте 1.4. избыточность дискретных источников обуславливается двумя причинами:

1) памятью источника;

2) неравномерностью сообщений.

Универсальным способом уменьшения избыточности обусловленной памятью источника является укрупнение элементарных сообщений. При этом кодирование осуществляется длинными блоками. Вероятностные связи между блоками меньше чем между отдельными элементами сообщений и чем длиннее блоки, тем меньше зависит между ними. Уменьшение избыточности обусловленной неравномерностью сообщений может быть достигнута применением неравномерных кодов. Основная идея построения таких кодов состоит в том, что наиболее вероятным сообщениям ставятся в соответствие наиболее короткие блоки кодовых символов (кодовые комбинации), а наименее вероятным более длинные. В силу неравномерности таких кодов и случайного характера сообщения U передача без потерь информации с постоянной скоростью следования кодовых символов uK может быть обеспечено лишь при наличии буферного накопителя с большой памятью, и, следовательно, при допустимости больших задержек.

В структурном подходе система проектируется в виде модели, используются в основном 2 группы средств, которые:

• описывают функциональную структуру системы;

• отображают отношения между данными.

Каждой группе средств соответствует определенные виды моделей (диаграмм), наиболее распространенные:

1. SADT - диаграммы анализа структуры и проектирования;

2. DFD - диаграммы потоков данных;

3. ERD - диаграммы «сущность - связь».

Конкретный вид перечисленных диаграмм и интерпретация их конструкций зависят от стадии ЖЦ ПО.

На стадии формирования требований используются SADT-диаграммы для построения модели «AS-IS» и «TO-BE». На данной стадии могут быть разработаны модели DFD и ERD-диаграмм.

На стадии проектирования производится более детальная обработка DFD и ERD - диаграмм. Производится детализация SADT-диаграмм и разрабатываются на ее основе другие диаграммы.

Большинство существующих методов объектно-ориентированного анализа и проектирования (ООАП) включают как язык моделирования, так и описание процесса моделирования.

Одним из унифицированных языков моделирования является язык UML (графический язык моделирования). Унифицированный язык UML - это прямое объединение и унификация методов Буча, Рамбо и Якобсона, плюс ко всему он дополняет их новыми возможностями.

Концептуальная модель UML включает в себя три составные части:

Сущности - это абстракции, являющиеся основными элементами модели. Сущности являются основными объектно-ориентированными блоками языка. С их помощью можно создавать корректные модели.

В UML имеется четыре типа сущностей:

Структурные сущности - статические части модели, соответствующие концептуальным или физическим элементам системы. Существует семь разновидностей структурных сущностей:

1. Класс - это описание совокупности объектов с общими атрибутами, операциями, отношениями и семантикой. Класс реализует один или несколько интерфейсов.

2. Интерфейс - это совокупность операций, которые определяют сервис (набор услуг), предоставляемый классом или компонентом. Таким образом, интерфейс описывает видимое извне поведение элемента. Интерфейс может представлять поведение класса или компонента полностью или частично; он определяет только спецификации операций (сигнатуры), но никогда - их реализации. Интерфейс редко существует сам по себе - обычно он присоединяется к реализующему его классу или компоненту

3. Кооперация определяет взаимодействие; она представляет собой совокупность ролей и других элементов, которые, работая совместно, производят некоторый кооперативный эффект, не сводящийся к простой сумме слагаемых. Кооперация имеет как структурный, так и поведенческий аспект. Один и тот же класс может принимать участие в нескольких кооперациях; таким образом, они являются реализацией образцов поведения, формирующих систему

4. Прецедент - это описание последовательности выполняемых системой действий, которая производит наблюдаемый результат, значимый для какого-то определенного актера. Прецеденты применяются для структурирования поведенческих сущностей модели и реализуются посредством кооперации. Прецедент всегда рассматривается по отношению к некоторой внешней сущности, которая называется актером.

5. Актер или внешняя сущность - это класс, точнее совокупность ролей классов выступающая по отношению к системе как внешний объект, для достижения целей которого функционирует система.

6. Активный класс - класс, объекты которого вовлечены в один или несколько процессов, или нитей, и поэтому могут инициировать управляющее воздействие. Его объекты представляют собой элементы, деятельность которых осуществляется одновременно с деятельностью других элементов. Выглядит как класс, только контур жирный.

7. Компонент - это физическая заменяемая часть системы, которая соответствует некоторому набору интерфейсов и обеспечивает его реализацию. Компонент представляет собой физическую упаковку логических элементов, таких как классы, интерфейсы и кооперации.

8. Узел - это элемент реальной (физической) системы, который существует во время функционирования программного комплекса и представляет собой вычислительный ресурс, обычно обладающий как минимум некоторым объемом памяти, а часто еще и способностью обработки. Совокупность компонентов может размещаться в узле, а также мигрировать с одного узла на другой.

Поведенческие сущности являются динамическими составляющими модели UML. Это глаголы языка: они описывают поведение модели во времени и пространстве. Существует всего два основных типа поведенческих сущностей.

1. Взаимодействие - это поведение, суть которого заключается в обмене сообщениями между объектами в рамках конкретного контекста для достижения определенной цели. С помощью взаимодействия можно описать как отдельную операцию, так и поведение совокупности объектов. Взаимодействие предполагает ряд других элементов, таких как сообщения, последовательности действий (поведение, инициированное сообщением) и связи (между объектами).

2. Автомат - это алгоритм поведения, определяющий последовательность состояний, через которые объект или взаимодействие проходят на протяжении своего жизненного цикла в ответ на различные события, а также реакции на эти события. С помощью автомата можно описать поведение отдельного класса или кооперации классов. С автоматом связан ряд других элементов: состояния, переходы (из одного состояния в другое), события (сущности, инициирующие переходы) и виды действий (реакция на переход).

Группирующие сущности являются организующими частями модели UML. Это блоки, на которые можно разложить модель. Есть только одна первичная группирующая сущность - пакет.

1. Пакеты - представляют собой универсальный механизм организации элементов в группы. В пакет можно поместить структурные, поведенческие и даже другие группирующие сущности. В отличие от компонентов, существующих во время работы программы, пакеты носят чисто концептуальный характер, то есть существуют только во время разработки.

Аннотационные сущности - пояснительные части модели UML. Это комментарии для дополнительного описания, разъяснения или замечания к любому элементу модели. Имеется только один базовый тип аннотационных элементов - примечание. Примечания используются, чтобы снабдить диаграммы комментариями или ограничениями, которые можно выразить в виде неформального или формального текста.

Существуют вариации этого элемента, например требования, где описывают некое желательное поведение с точки зрения внешней по отношению к модели.

В языке UML определены четыре типа отношений. Эти отношения являются основными связующими строительными блоками в UML и применяются для создания корректных моделей.

Отношения:

1. Зависимость - это семантическое отношение между двумя сущностями, при котором изменение одной из них, независимой, может повлиять на семантику другой, зависимой.

2. Ассоциация - структурное отношение, описывающее совокупность связей.

3. Обобщение - это отношение «специализация/обобщение», при котором объект специализированного элемента (потомок) может быть подставлен вместо объекта обобщенного элемента (родителя или предка). Потомок наследует структуру и поведение своего родителя.

4. Реализация - это семантическое отношение между классификаторами, при котором один классификатор определяет «контракт», а другой гарантирует его выполнение. Отношения реализации встречаются в двух случаях: во-первых, между интерфейсами и реализующими их классами или компонентами, а во-вторых, между прецедентами и реализующими их кооперациями.

Диаграмма в UML - это графическое представление набора элементов, изображаемое чаще всего в виде связанного графа с вершинами (сущностями) и ребрами (отношениями).

В UML выделяют девять типов диаграмм:

Строительные блоки UML нельзя произвольно объединять друг с другом. Как и любой другой язык, UML характеризуется набором правил, определяющих, как должна выглядеть хорошо оформленная модель, т.е. семантически самосогласованная и находящаяся в гармонии со всеми моделями, которые с нею связаны.